趣题:硬币转动中的数学
拿两个5毛硬币,一个不动,另一个贴着第一个转,总共转1周,问第二个硬币转了几圈?
这个问题看似很无聊,自己拿硬币试试就知道了(当然我没有一次成功的转满一周,每次都打滑╮(╯▽╰)╭)。实际上,我的第一反应是:肯定不是1圈,2圈差不多,不过也太巧合了吧。然而,生活总是玩弄我们,这种巧合确实存在,事实上答案确实是两圈。然而,生活中的数学问题肯定是有依据的,我们试着从理论层面来分析这个问题。
一个圆绕着另一个圆旋转,这个问题有点复杂,我们不妨将问题化简一下:一个圆在一条线上运动,它运动的距离是多少?
答案很显然,就是圆心所走的距离!由此,我们容易知道,一个圆转动过程中,运动的路程等于圆心运动的路程。有趣的事情发生在一条折线上。
当圆运动到线段的尽头时,它会转向,而此时底部的点是静止不动的。至于怎么转向……我们知道,圆O与第一条线段相切,前进过程中圆始终保持这个状态,相当于以转折点为圆心、圆的半径为半径,做一条弧,运动到圆O’时,圆O’要与第二条线段相切。由此,我们易知:圆O在转折时,运动的距离就是弧O’O的长度(注意,此时圆下面那个点不动,只是“重心转移”)。
我们推广到一般情况,两个圆,圆A和圆B半径分别是r和R,两圆切与C点,圆B绕着圆A转一周。则圆B运动的路程就是以A为圆心、(r+R)为半径的圆的周长,即2π(r+R)。我们要计算圆B转的圈数,实际上就是除以圆B的周长。所以圆B转的圈数就是:2π(r+R)/2πR即(r+R)/R。对于两个5毛硬币,r=R,所以转的圈数就是(1+1)/1=2圈。
其实我们还可以有更多的玩法,比如说把这个圆放到一个三角形外面。
圆的半径为r,三角形三边分别长aπr,bπr,cπr,圆运动的路程就如图中虚线所示。我们可以把它拆成两部分,一部分是(a+b+c)πr,另一部分就是三个弧部分。这三个弧又应该怎么算呢?
生活再次玩弄了我们,这三个弧的角度之和等于360°!原因就是每个条弧所对的角都与三角形的一个角互补,于是乎三条弧度数之和就是(180°-∠A)+(180°-∠B)+(180°-∠C)=180°×3-180°=360°!也就是一个圆,所以三条弧总长2πr。所以圆转动的圈数就=(a+b+c+2)πr/2πr=(a+b+c+2)/2。
当然,你还可以把这个圆扔到抛物线上等等……