今天上英语课讲评练习时，老师按惯例说：“有问题的举手。”于是最后一排某男说：“11！”估计手上比着“1”的手势。老师没听到，但是看到了手势，说：“第1题是吗？”“……第11题！”这位老兄再说了一遍。于是我就想到了一个问题：会不会是由于手指能够表示的数不够过而导致误解呢？

我们知道，一个正常人的双手共有10个手指头。小时候起，大家就学会了“1……2……3……”地数手指头，并且能很熟练地从1数到10。不错，数手指头确实是很容易搞清楚状况，但问题是：传统的手指表示方式仅能表示[0, 10]的整数。像这位老兄的11就无法表示了。于是，大家就有想到了一个方法：对于两位数ab(a,b均小于5)，可以用一只手表示十位、一只手表示个位。有些懂得用单只手表示0~9的人，利用这种方法就可以表示出[0, 99]的整数。表示范围确实扩大了不少。

还可以再大吗？我在英语课上就走神了。

受到上面想法的启示，我想到了：手势可以屈伸，若把手指弯曲表示成为0、伸直表示为1，那么利用二进制，就可以在手上表示出[0, 2^10-1]即[0, 1023]的整数，比上面又扩大了十倍不止。随后，我又想到手指还是有一些关节的，大拇指最少，但也有一个关节。用全屈、半屈、伸直表示0, 1, 2，利用三进制就可以表示出[0, 3^10-1]的整数……更变态的，如果是去掉两个大拇指，剩余的八指即可用四进制表示出[0, 4^8-1]的整数……

想想，其实如果用三进制、四进制表示，恐怕我们的手指技艺得十分高超，虽然表示范围有所增大，但是不如二进制那么方便。因此，我就把三进制、四进制否决了，觉得二进制表示挺好的！

由于讲语法，有点无聊，所以又开小差了，我又想起一个问题：实数系中的区间[a, b]和[ c, d]，两个区间谁大呢？其实这是一个很显然的问题，即使是[0, 1]和[-100, 100]，它们也是一样大的。虽然在数轴上它们的长短不同，但这两个区间里面都有无穷多个点，所以两个区间大小应该是相等的。这个解释貌似不错，但是为了打发英语课的剩余时间（更是为了等待放学铃敲响的那一刻），我就想了另外一个方法：

如果能够定义一个转换规则f，使得k∈[a, b]能够与f(k)∈[ c, d]一一对应，那么不就说明了这两个区间大小是一样的吗？不过，这个f要怎么弄呢？

我是用最淳朴的方法思考的：a对应c，b对应d，相当于求(a, c)和(b, d)两点构成的直线的解析式。

易求得f(x) = [(c-d)/(a-b)]x + (ad-bc)/(a-b)

这时候[a, b]中的k对应[ c, d]

中的[(c-d)/(a-b)]k + (ad-bc)/(a-b)，更神奇的是：分别求出这两点在两个区间中的位置（也就是百分比）：

可得k在[a,b]中位置是：(k-a)/(b-a)

f(k)在[ c, d]

中的位置是：{[(c-d)/(a-b)]k+(ad-bc)/(a-b) - c}/(d-c)，整理得：(k-a)/(b-a)

也就是说，k和f(k)在各自区间中的位置是相同的！！！神奇啊！

认真想想，也很显然，用几何表示如下：

线段AB表示的就是区间[a, b]，线段CD表示的就是区间[ c, d]

。在AB上去一点P，过P作PP’∥AD交CD于P’点。由△ABD∽△PBP’易知P和P’点在各自线段上的位置是相同的。而因为AB上有无穷个P点，因此CD上也就有无穷个P’点，故两区间大小相等（怎么又绕回去了……）